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벤다이어그램은 학생들을 골탕 먹이기 위해서 고안된 귀찮은 그림이 아니라 집합을 공부할 때 외어야 하는 아래의 연산법칙을 모르더라도 까다로운 집합 문제를 해결할 수 있는 아주 ‘유용한 도구’이다. 아래에 있는 집합에서 사용되는 연산법칙들은 이제 머리 속에서 지워도 된다.
-. 교환법칙 : A∪B = B∪A, A ∩ B = B ∩ A
-. 결합법칙 : (A∪B)∪ C = A∪(B∪ C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
-. 분배법칙 : A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
-. 드 모르간의 법칙 : (A∪B)c = Ac ∩ Bc, (A∩B)c = Ac ∪ Bc
-. A - B = A ∩ Bc
위의 연산법칙을 모르더라도 집합 단원에 나오는 용어와 기호들의 의미는 정확히 알아야 하는데 그 용어나 기호들의 의미를 모르는 봉팔러(또는 학생들)는 없을 줄 알지만 이 참에 정리해보면 다음과 같다.
1. 집합 : 특정 조건에 맞는 요소들을 모아놓은 것.
1) 원소
집합 내의 요소들을 ‘원소’라고 하는데 어떤 집합의 원소가 되기 위해서는 반드시 그 집합에 맞는 ‘특성’을 갖고 있어야 한다. 원소는 이 세상에서 유일무이한 존재이지만 원소가 가지고 있는 성질이 다른 집합이 제시하는 조건에 맞기만 하면 다른 여러 집합들에 동시에 속할 수 있다.
2) 집합의 표현방법
집합을 표현하는 방법에는 그 집합을 만든 이유(조건)를 제시하는 ‘조건제시법’과 그 조건에 맞는 원소들을 일일이 나열하는 ‘원소나열법’ 두 가지가 있다. 10 이하의 자연수로 이루어진 전체집합 U와 그의 부분집합 A와 B를 조건제시법과 원소나열법으로 각각 표현하면 다음과 같다.
① 조건제시법 : U = {x｜x는 10 이하의 자연수}
A = {x｜x는 2의 배수, x≦10}
B = {x｜x는 3의 배수, x≦10}
② 원소나열법 : U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
B = { 3, 6, 9 }
조건제시법은 그 집합의 조건이 직접 명시되어 있어 그 집합을 만든 이유를 쉽게 알 수 있다는 장점이 있고, 원소나열법은 원소들이 진열되어 있어서 어떤 원소가 그 집합 속에 들어있는지 없는지 쉽게 알아볼 수 있는 장점이 있다.
역으로 조건제시법은 그 집합에 어떤 원소들이 있는지 알기 어렵다는 단점이 있고, 원소나열법은 그 집합이 왜 만들어졌는지 알아내기 위하여 그 집합에 속한 원소들의 공통점을 찾아야하는 번거로움이 있다.
3) 집합에 나오는 기호와 용어
① 집합의 이름은 알파벳 대문자를 사용한다.
--> 전체집합은 U, 부분집합은 A, B, C 등으로 쓴다.
② 집합표시는 원소들을 연접한 순서로 나열하기 때문에 ‘{ }’(중괄호)를 사용한다.
③ 1 ∈ U : ‘1은 집합 U에 속한다.’라고 읽고 해석한다. ‘∈’ 기호는 원소와 집합과의 관계를 나타내며 벌어진 쪽에 집합이 위치한다. ‘20은 집합 U에 속하지 않는다’는 ‘20  U'라고 쓴다.
④ A ⊂ U : ‘집합 A는 집합 U에 포함된다’ 라고 읽고 해석한다. ‘⊂’ 또는 ‘⊃’(부분집합 기호)는 집합과 집합과의 관계를 나타낸다. 이 식이 성립하면 A는 U의 ‘부분집합’이 된다. 집합 U의 부분집합의 개수는 210 개이다. 2의 지수 ‘10’은 집합 U의 원소의 개수를 나타내는데 이는 집합 U에 있는 각 원소가 부분집합에 들어갈 경우의 수와 관계가 있다.
예를 들어 ‘1’이라는 원소가 부분집합에 있을 수도 있고 없을 수도 있기 때문에 ‘1’은 두 가지 경우의 수를 갖는다. 이와 같이 집합 U에 속하는 10개의 원소는 모두 두 가지 경우의 수를 갖기 때문에 집합 U의 부분집합의 개수는 2를 10 번 곱한
210개가 되는 것이다. 자기 자신을 제외한 부분집합들은 ‘진부분집합’이라 한다.
⑤ n(A) : 집합 A에 속한 원소의 개수를 의미한다. 원소가 없는 집합을 ‘Φ’(공집합 기호) 또는 ‘{ }’로 표기한다.
⑥ A ∩ B : A와 B에 동시에 속한 원소로 이루어진 집합을 의미하며 ‘A와 B의 교집합’ 이라 읽고 해석한다. ‘∩’(교집합 기호)는 영어의 ‘and’에서 가운데 있는 ‘n'으로 기억하라. 말 그대로 ‘그리고’ 또는 ‘~이고’의 뜻을 갖는다. 수학에서 ‘그리고’ 또는 ‘~이고’의 뜻으로는 ‘,’(쉼표)도 있다.
--> A ∩ B = { 6 }
⑦ A∪B : A와 B를 합한 원소들로 이루어진 집합을 나타내며 ‘A와 B의 합집합’ 이라 읽고 해석한다. 이 때 주의해야 할 것은 원소는 유일한 존재이므로 한 집합에 같은 원소가 둘 이상 있을 수 없기 때문에 두 집합에 동시에 속하는 원소의 중복을 피해야 한다는 점이다.
--> A∪B = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 }
⑧ Ac : 집합 A에 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 의미하며 ‘A의 여집합’이라고 읽는다. 'c'는 ‘아니다’라는 뜻을 나타내며 영어의 ‘not'과 의미가 같다. --> Ac = { 1, 3, 5, 7, 9 }
⑨ A - B : A에서 B에 속하는 원소들을 빼고 남은 원소들로 이루어진 집합을 말하며 ‘A에 대한 B의 차집합’이라고 읽는다. --> A - B = { 2, 4, 8, 10 }
위에 열거한 집합 기호 중에서 교집합 기호 ‘∩’(~이고)와 여집합 기호 'Ac’(A가 아니다) 이 두 가지와 벤다이어그램만 알면 집합에 관한 대부분의 시험문제는 해결할 수 있다.
2. 벤다이어그램
1) 벤다이어그램의 핵심은 ‘영역을 나누는 것’이다.
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위의 그림에서 (가)는 전체집합 U에 부분집합이 하나인 경우의 그림이고 (나)와 (다)는 각각 부분집합의 개수가 2개와 3개인 경우를 나타낸다. (가)의 경우에는 두 개의 영역이 있고 (나)와 (다)의 경우에는 각각 4개와 8개의 영역이 존재한다. 영역의 개수는 부분집합의 개수(n)를 지수로 한 2n개가 된다. 부분집합이 4개인 경우에는 24 , 즉 16개의 영역으로 나누어야 하는데 고등학교 과정에서도 부분집합이 4개 이상인 경우는 나오지 않으므로 굳이 알 필요는 없다.
(나)그림의 ③영역은 'A이고 B'이므로 ‘A와 B의 교집합’인 ‘A ∩ B’가 되며, ①과 ②와 ③영역을 합하면 ‘A와 B의 합집합’인 ‘A∪B’가 된다. ④영역은 ‘A도 아니고 B도 아닌 영역’이므로 ‘Ac∩ Bc’로 나타낼 수도 있고, ‘A와 B의 합집합이 아닌 영역’이므로 (A∪B)c로 나타낼 수 있으므로 Ac∩ Bc = (A∪B)c 가 된다.
(다)그림의 ⑤영역은 ‘A는 아니고 B이고 C인 영역’이므로 ‘Ac∩ B ∩ C’로 나타낼 수 있다.
2) 원소는 한 영역에만 존재한다.
여러 집합에 속하는 원소도 벤다이어그램 속의 한 영역에만 존재한다. 예를 들어 '1 - 3)'에 나오는 집합을 벤다이어그램으로 표현하면 다음과 같다.
-. A ∩ B (A이고 B인 것) = { 6 }
-. A∪B (A와 B를 합한 것) = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 }
-. Ac (A가 아닌 것)= { 1, 3, 5, 7, 9 }
-. Ac∩ Bc(A가 아니고 B도 아닌 것) = (A∪B)c = { 1, 5, 7 }
-. A - B(A에서 B를 뺀 것) = A ∩ Bc (A이고 B는 아닌 것) = { 2, 4, 8, 10 }
[이 게시물은 관리자에 의해 2012-10-14 15:35:12 생활에서 이동 됨]
 자전과공전 기자로부터 카테고리 견인비 1,000뽕이 삭감됨.
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