전 시간에 유리수와 무리수에 대하여 알아보았는데, 이 두 종류의 수를 합해 ‘실수’라고 한다.

우리나라 수학 교과서에서 사용되는 대부분의 용어는 그 용어에 쓰인 글자 속에 ‘정의’가 있다. 물론 ‘마름모’와 같이 예외적인 경우도 있기는 하지만 본래 어떤 정의에 해당되는 용어를 정할 때 용어 속에 정의가 담겨있게 하는 것이 그 용어를 사용하기에 편리하기 때문이다.

실수의 정의는 ‘유리수와 무리수 전체를 통틀어 일컫는 수’이다. 그런데 이 정의와 용어 사이에 눈에 띄는 연관성은 없어 보인다. 그래서 나는 용어에 맞춘 내 나름대로의 ‘정의’로 아이들에게 설명한다.

                                ‘실수는 실제 크기가 존재하는 수’이다.

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위의 그림은 실수를 직선으로 표현한 것이다.

위의 그림에 있는 a와 b가 서로 다른 유리수라면 두 수가 아무리 가까이 있더라도 두 수 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재한다. 이를 ‘유리수의 조밀성’이라고 한다. 그러나 유리수만으로는 완전한 직선을 나타낼 수 없다. 왜냐하면 유리수와 유리수 사이에는 유리수가 존재하지 않는 틈이 있기 때문이다. 그 틈을 무리수가 채우고 있다. 이렇게 유리수와 유리수 사이를 무리수가 완벽하게 메꾸어 주기 때문에 실수를 직선으로 나타낼 수 있는 것이다. 이를 ‘실수의 연속성’이라고 한다.

유리수든 무리수든 직선 상의 한 점으로 표시할 수 있다. 이와 같이 실수는 0과 비교한 위치(크기)가 존재하기 때문에 서로 다른 실수 사이에는 반드시 대소관계가 성립한다.

자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수의 포함관계를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

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위의 그림에서 'Φ' 표시가 두 군데 있는 데 이 기호는 ‘공집합’을 의미한다. 윗부분에 있는 ‘Φ’(공집합 기호)는 ‘유리수와 무리수가 아닌 실수는 없다’는 의미이고, 유리수와 무리수 사이에 있는 ‘Φ’는 유리수와 무리수 사이에는 교집합이 없다는 것을 의미하는데 이를 좀 길게 설명하면 어떤 수가 실수이기는 한데 만약 그 수가 유리수가 아니라면 무리수이고, 무리수가 아니라면 유리수라는 것을 의미한다라고 말할 수 있다. 이를 다시 한마디로 요약하면 ‘유리수와 무리수는 서로소 관계이다‘라고 표현할 수 있다.