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(윗그림에 나와있는 집합의 연산에 대한 성질도 잊어라.)
[3-1]집합과 벤다이어그램에서 설명한 내용은 중1 학생들의 수준이면 이해할 수 있으리라고 보는데 실전 문제에서 벤다이어그램이 어떻게 적용될 수 있는지 보여주기 위해 고1 수학 참고서에 나오는 3개의 문제를 벤다이어그램을 이용하여 풀어보았다.
1번 문제
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 A - B =Φ 일 때,
(A∪Bc) ∩ (Ac∪B)를 간단히 하면?
① Φ ② A∪Bc ③ Ac∪B ④ A ∩ B ⑤ B - A
# 풀이
전체집합 U와 두 부분집합 A, B에 관한 벤다이어그램을 그리고 각 영역을 ‘a, b, c, d’로 표시한다.[그림-1] 벤다이어그램은 한 번만 그리면 된다.
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A - B = Φ는 ‘A에서 B를 빼면 원소가 없다’(=‘a 영역이 비어있다.’)는 뜻이므로 a 영역에 Φ(공집합 기호)를 넣는다.[그림-2]
A = a +c, Bc = a +d, Ac= b +d, B = c +b 으로, ∪(합집합 기호)는 ‘+’으로 하여 식을 쓰면 다음과 같다.
(A∪Bc)∩(Ac∪B) = (a +c +a +d )∩(b +d +c +b) = c +d ∩ b +c +d = c +d
A Bc Ac B (A∪Bc) (Ac∪B) (A∪Bc)
그러므로 답은 ② A∪Bc 이다.
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2번 문제
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여
n(U) = 30, n(A) = 20, n(B) = 15, n(Ac ∩ Bc) = 4 일때,
n(A∩ B)의 값은?
# 풀이
벤다이어그램을 그리고 각 영역에 이름을 붙인다. 각 집합에 있는 원소의 개수는 벤다이어그램의 각 영역 안에 있는 원소의 개수가 아니므로 집합기호 옆에 괄호로 기입한다.[그림-1]
n(Ac ∩ Bc)는 ‘A가 아닌 것(b +d)과 B도 아닌(a +d) 것의 교집합인 d 영역에 있는
원소의 개수를 말하므로 d 영역에 4를 기입한다.[그림-2]
d = 4 ----------------------------------------------- ①
n(U) = a +b +c +d = 30 -------------------------------- ②
==> ①번 식에서 d = 4 이므로 a +b +c = 30 - 4 = 26 이 식을 변형하면
==> a +b = 26 - c ------ ③
n(A) + n(B) = (a + c) + (c + b) = 20 + 15 = 35
③번 식에서 a + b = 26 - c 이므로 c +c + 26 - c = 35
==> c = 35 - 26 = 9
그러므로 n(A ∩ B)의 값은? 9 (정답)
==> 나머지 영역의 원소의 개수도 알 수 있다.
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3번 문제
A, B, C 세 대학에 원서를 제출한 학생 100명 중에서 A, B, C 대학에 합격한 학생이 각각 67명, 45명, 30명이고 2개의 대학에 합격한 학생이 56명, 3개의 대학에 모두 합격한 학생이 3명일 때, 적어도 1개의 대학에 합격한 학생 수를 구하여라.
#풀이
부분집합 A, B, C를 갖는 벤다이어그램을 그리고 각 영역에 이름을 넣는다.
적어도 1 개의 대학에 합격한 학생의 수는 위의 벤다이어그램에서 h 영역을 제외한 나머지 영역에 있는 원소의 수(a+b+c+d+e+f+g)와 같다.
n(A) = a +d +f +g = 67 ----------------------------- ①
n(B) = b +d +e +g = 45 ---------------------------- ②
n(C) = c +e +f +g = 30 ---------------------------- ③
2 개의 대학에 합격한 학생의 수 = d +e + f = 56 ----- ④
3 개의 대학에 모두 학격한 학생의 수 = g = 3 ------ ⑤
⑤번 식의 g = 3 을 ①, ②, ③ 식에 각각 대입하면
a +d +f = 64
b +d +e = 42
c +e +f = 27
위의 3 개의 식을 더하면 a +b +c + 2(d +e +f) = 133
④식에서 d +e +f = 56 이므로 a +b +c = 21
그러므로 전체집합 U에서 h 영역을 제외한 나머지 영역에 속한 원소의 개수는
a +b +c +d +e +f +g = 21 + 56 + 3 = 80 (정답)
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 자전과공전 기자로부터 카테고리 견인비 1,000뽕이 삭감됨.
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