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1) 점의 이동
좌표평면상에 있는 점(3, 7)이 x축 방향으로 5만큼, y축 방향으로 4만큼 평행이동시킨 점은 (3+5, 7+4) <=> (8, 11)이다. --> 점의 이동은 상식에 준하므로 이해하는 데에 별다른 문제가 없다. 하지만...
2) 일차함수의 평행이동
[그림1]의 일차함수 y = 2x + 4 를 x축으로 2만큼 y축으로 -4만큼 평행이동한 식을 구하는 문제를 가지고 함수의 평행이동에 대하여 알아보자.
먼저 주어진 식을 다시 보자.
y = 2x + 4 (①번 식)
상자에 들어가는 수 x와 관계를 맺고 있는 것은 x의 계수 “2” 뿐이다. 나머지 상수항의 수인 “4”는 x의 변화에 상관없이 더해지는 수이다. x의 변화에 관계하지 않는 수 “4”를 이항하면
y - 4 = 2x (②번 식)가 된다.
②번 식 y - 4 = 2x 는 두 가지 중요한 정보를 담고 있다. 하나는 x와 관계하지 않는 것들은 모두 y와 관계가 있다는 것이고, 다른 한 가지는 앞의 정보와 관련하여 ②번 식 y - 4 = 2x 는 y = 2x 라는 식을 y축의 양의 방향(윗쪽)으로 4만큼 평행이동한 식이라는 것이다.
바로 이 부분에서 많은 학생들이 헷갈리기 시작한다. 양의 방향으로 4만큼 이동 하였는데 왜 평행이동한 식에는 y 대신에 y - 4 가 들어가 있을까?
이를 이해하기 위해서 “함수는 상자수이다”라는 것을 다시 한번 상기할 필요가 있다.
y = 2x 라는 식은 들어가는 수 x에 2를 곱하여 내보내는 기능을 하는 상자를 나타내는 것이고, ①번 식 y = 2x + 4 라는 식은 들어가는 수 x에 2를 곱한 후 4를 더하여 내보내는 상자를 나타내는 것이다. 즉 y = 2x 와 y = 2x + 4 는 기능이 전혀 다른 상자를 나타낸다.
그러므로 들어가는 수와 나오는 수를 같은 문자인 "x와 y" 로 나타낸다고 해도 완전히 다른 상자에서 들어가고 나가는 것이다. 그러므로 y = 2x 의 x와 y를 각각 a와 b 로 바꾸면 다음과 같다.
b = 2a -> a는 들어가는 수(정의역), b는 나오는 수(치역)
b = 2a 에서 y에 상응하는 것은 “b” 이다. 이 b 를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것을 B라고 하면
b + 4 = B 가 된다.
그런데 우리에게 주어진 상자에는 a만 들어가고 b만 나올 수 있으므로 b 만이 식에 들어갈 수 있다. 그러므로 b + 4 = B 에서 우변의 “4”를 이항하여 b = B -4 를 만들어야 한다. 이제 비로소 b 대신에 B-4 를 사용할 수 있게 되었다.
주어진 식 b = 2a 의 b 자리에 B-4 를 대입하면 B - 4 = 2a 가 되고, a성분에 변화는 없으므로 a 대신 A를 넣으면 B - 4 = 2A 가 되어 들어가는 수(A)에 대한 나오는 수(B)의 일차함수식을 구할 수 있다. 이를 다시 x에 대한 y의 식으로 바꾸면
y - 4 = 2x <==> y = 2x + 4 가 된다.
그러므로 y = 2x 를 y축 방향으로 4만큼 평행이동한 식은 y 대신에 y - 4 가 들어간 y -4 = 2x <==> y = 2x + 4 이다.
다시 한번 강조하지만 함수의 평행이동에서 꼭 기억해야할 것은 일차함수든 이차함수든 x에 관계하지 않는 것은 y와 관계가 있다는 점과 주어진 함수의 식에 대입하는 과정에서 “수”의 이항이 이루어져서 부호가 바뀌어 식에 대입된다는 점이다.
자 이제 본 문제로 되돌아가서 [그림1]의 일차함수 y = 2x + 4 (①번 식)를 x축으로 2만큼 y축으로 -4만큼 평행이동한 식을 구하여 보자.
풀이) 주어진 식의 x 대신에 x-2 를, y 대신에 y-(-4) 를 대입하면
y -(-4) = 2(x - 2) + 4
<==> y +4 = 2x - 4 +4
<==> y = 2x - 4 (③번 식)
참고) 식을 다른 식에 대입할 때는 반드시 대입하는 식을 먼저 보호하고 대입하여야 하는데 이 때 그 식을 보호하는 장치가 바로 “괄호( )”이다.
이 ③번 식 y = 2x - 4 는 ①번 식 y = 2x + 4 를 x축 방향으로 4만큼 평행이동한 식과 같다.
풀이) 주어진 식(①번 식)의 x 대신에 (x - 4)를 대입하면
y = 2(x - 4) +4
<==> y = 2x - 8 +4
<==> y = 2x - 4 (③번 식)
3) 이차함수의 평행이동
이차함수의 표준형은 y = a(x - p)² +q 이다. 이 식에서 x에 관계하지 않은 q를 이항하면 y - q = a(x - p)² 이 된다. 이 식은 이차함수의 기본형인 y = ax² 를 x축으로 p만큼 y축으로 q만큼 평행이동한 식이라는 것을 알 수 있다.
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(펌) 어제 표결이 신의한수였…