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[5] 일차함수
1. 일차함수의 정의
일차함수란 χ의 함수 y가 χ의 일차식으로 표시된 함수이다.
일차함수로는 기울기가 있는 직선만 표현할 수 있다. 기울기가 0인 수평선(y = 0)이나 기울기가 무한대인 수직선(χ = 0)은 일차함수로는 표현할 수 없고 "직선의 방정식"으로만 표현할 수 있다. 그러므로 일차함수는 직선의 방정식의 일부분이다.
직선에는 정의가 없다. 그 대신에 직선이 갖는 성질과 점, 평면 등이 갖는 성질의 상호관계를 공리로 규정하여 그 개념에 의거해서 간접적으로 정의할 수 있다. 정의가 없는 이런 용어들에는 점과 평면 등이 있는데 이를 '무정의용어' 또는 '무정의술어'라고 한다.
여기서는 일단 직선을 "두 점을 똑바로 관통하는 무한히 긴 선"으로 정의하자. 그 정의에 나오는 것은 두 점뿐이다. 그러므로 일차함수(또는 직선의 방정식)는 두 점의 위치만 알면 그래프도 그릴 수 있고, 함수식도 구할 수 있다.
2. 일차함수의 그래프
위의 [그림 1]과 같이 한 점을 지나는 직선은 무수히 많다. 그러나 [그림 2]와 같이 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 뿐이다. 그러므로 어떤 직선을 정확히 표현하기 위해서는 두 점의 위치만 알면 된다.
일차함수에서 가장 유명한 두 점이 X절편과 Y절편이다. “절편”이란 좌표평면 상에서 함수의 그래프가 축과 만나는 점이다. 그 점에 의해서 좌표평면을 이루는 두 개의 축이 좌•우 또는 위•아래로 절단되므로 “절편”이라는 용어를 사용한 것이다.
X절편은 그래프가 X축과 만나는 점에서의 χ값을 말하고, Y절편은 그래프가 Y축과 만나는 점의 y값을 말한다. X절편과 Y절편을 안다는 것은 두 점을 안다는 것이고 두 점은 축 위에 있으므로 쉽게 찾을 수 있기 때문에 두 점을 잇는 직선을 간단하게 그릴 수 있다. 그래서 직선 위의 두 점 중에서 “절편”이 그토록 유명한 것이다.
3. 일차함수의 식
그래프와 마찬가지로 일차함수의 식도 두 점만 알면 완성할 수 있다. 일차함수를 식으로 표현하면 다음과 같다.
y = aχ ┼ b ( a ≠ 0 ) --------- ①
위의 ①번 식을 “일차함수의 표준형”이라고 한다. 위의 식을 완성하기 위해서는 a와 b만 알아내면 된다.
1) 기울기(a) 구하기
먼저 “a”에 대해서 알아보자. ①번 식에서 a는 상자 안으로 들어가는 수(χ )에 곱하여지는 상수이다. "a"가 갖는 의미를 보다 확실히 알아내기 위해 ①번 식의 b를 0으로(b = 0) 하자. 그러면 ①번 식은 y = aχ가 되고, 이는 다시 y / χ = a 이다. 결국 "a"란 녀석은 “χ에 대한 y의 비” 이다. 다시 말해서 χ가 1 만큼 변할 때 y가 얼마만큼 변하는지 그 정도를 나타내는 것이 바로 “a” 이다.
[그림 3]은 한 직선 위에 있는 세 개의 점을 표시한 것이다. 그 점들 중 점A가 점B의 위치로 가기 위해서는 “방향”을 알아야 하는데 일상생활에서는 각도로 방향을 표현하지만 각을 알 수 없는 좌표평면에서는 이 “방향”을 한 점에서 다른 점으로 이동할 때의 “X축의 변화량”과 “Y축의 변화량”의 비로 나타낼 수 있다.
[그림 3]에서 점A의 X값은 1이고 점B의 X값은 3이므로 X축으로는 + 2만큼 이동하고, 점A의 Y값은 5이고 점B의 Y값은 9이므로 Y축으로는 + 4만큼 이동해야 점A가 점B로 갈 수 있다. 이것은 직선 위에서 점이 이동할 때 X축으로 1만큼 가면 Y축으로는 2만큼 가야 한다는 것을 말한다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
위와 같이 일차함수식에 있어서 “a”는 직선의 방향을 나타내는데 이를 “기울기”라고 한다.
“기울기”란 좌표평면상에서 직선의 경사, 즉 수평인 X축을 기준으로 주어진 직선이 벌어진 정도를 의미하므로 a의 절대값이 크면 클수록 직선은 X축에서는 멀어지고 Y축에 가까워진다.
[그림 3]에 있는 직선 위의 두 점, 점A와 점B를 이용하여 구한 “직선의 기울기”는 점B와 점C를 이용하여 구해도 마찬가지로 2이다. 그 이유는 기울기가 같은 직선 위에 세 점이 있기 때문이다. 이렇게 “a”구했으니 이젠 “b”를 구하기만 하면 [그림 3]의 직선을 표현하는 일차함수식을 완성할 수 있다.
2) b(Y절편) 구하기
일차함수식은 y = aχ ┼ b ( a ≠ 0 )인데 이 식에서 χ 값에 0을 대입하면 y = b가 된다. 즉 “b”는 “X가 0일 때의 Y값”을 의미하는데 이는 바로 “Y절편”이다. 그러므로 b는 Y절편을 알면 바로 구할 수 있다.
그러나 [그림 3]의 직선 상에 있는 세 점 중에 X값이 0인 점, 즉 Y절편을 알 수 있는 점은 없다. 이 경우 바로 위에서 우리는 직선의 기울기인 a를 구했으므로 ①번 식에서 a 대신 2를 대입하여 식을 다시 쓰면 "y = 2χ ┼ b"가 된다. 이 식에 세 점 중 한 점을 대입하면 모르는 미지의 문자인 b의 값을 구할 수 있다. 이 식에 점B를 대입하면
그러므로 [그림 3]의 직선을 함수식으로 표현하면 “ y = 2χ ┼ 3 ”이다.
3. 핵심요약
일차함수는 y가 χ의 일차식으로 표시된 함수로서 직선의 방정식의 일부분이다. 일차함수는 기울기가 있는 직선만을 표현한다. 일차함수는 직선 위에 있는 두 점의 위치만 알면 그릴 수도 있고 식으로 표현할 수도 있다. 일차함수의 표준식은 y = aχ ┼ b (a ≠ 0)인데 a는 “기울기”이고 b는 "Y절편"이다. 결국 일차함수는 기울기와 Y절편이라는 두 개의 정보만 알면 되는데 이 두 개의 정보 또한 두 점의 위치만 알면 구할 수 있다.
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 자전과공전 기자로부터 카테고리 견인비 1,000뽕이 삭감됨.
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(펌) 어제 표결이 신의한수였…